金融经济学 | 第7讲：对CAPM的讨论

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1. 从CAPM的视角看风险

风险是判断资产是“好”是“坏”的最主要考虑因素，同时也是资产预期回报率（资产价格）的最重要决定因素。在了解了均值-方差分析，以及CAPM之后，我们对于风险的认识可以更近一层。

在均值-方差分析中，回报由回报率的均值（表征了资产的预期回报率）来刻画，而风险则由回报率的波动率（又叫做波动方差）来表征。那么，我们很容易认为波动率越高的资产在投资者看来越不好，因而需要提供更高的期望回报率来补偿投资者。但CAPM告诉我们情况不是这样：决定资产期望回报率的不是资产回报率的波动率，而是资产回报率与市场组合回报率的相关性 $\beta$ 。

之所以有会有这样违反直觉的结论，关键在于对风险的定义。风险是对未来回报不确定性的度量。在均值方差分析中，这一不确定性由资产回报率的波动率来刻画。但在资产定价的时候，必须把投资者对不确定性的应对也考虑进来。如果某些不确定性可以通过投资者自己的处理而被消除，它就不应该算作真正的风险，市场也就不应该对持有这些不确定性给出奖励。均值方差分析的核心逻辑是通过恰当地构造由多种风险资产形成的投资组合，将自己的财富分散投资到组合中的各种资产上，投资者可以将资产回报中的一部分不确定性（波动率）给消灭掉。

在这里，我们看到了分散化（diversification）的价值。分散化可以消除资产回报率中的一部分不确定性，从而降低投资者需要承担的不确定性。所以，当我们在讨论风险时，永远要把风险和分散化联系起来分析。只有那些无法通过分散投资消除掉的不确定性才是真正的风险，才是需要在预期收益率中加以补偿的“坏东西”。

那么，无法通过分散化投资消除掉的不确定性是什么？

首先，当我们持有所有资产时，就做到了分散投资的极致。而所有资产合起来，就是市场组合。市场组合的波动率就是不能被分散的不确定性，是资产定价时需要补偿的风险。

那从市场组合的波动率又怎么能跳到单一资产的风险和定价呢？

市场组合的波动率来自组合中所有资产的波动率。但不同资产对市场组合波动率的贡献不一样。对每一种资产来说，只有那些与市场组合波动率正相关的波动才贡献了市场组合的波动率，剩余的不相关部分则可被分散化消除掉。因此，任意一种资产所包含的真正风险就由其波动与市场组合波动的相关性（更严格的说，由 $\beta$ ）来衡量。因此，完全可能发生的情况是，一种资产回报率的波动率很大，但它所含的风险其实很小（因为它与市场组合的相关性小）。

我们把市场组合所包含的不可通过分散化而加以消除的波动叫做系统性风险（systematic risk）。而各类资产所包含的可以通过分散化消除的波动叫做个体风险（idiosyncratic risk）。CAPM可概括为资产价格只奖励对系统性风险的持有。

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2. CAPM的估计

CAPM的方程为

$$E(r_i)-r_f={\beta }_i[E(r_M)-r_f]$$

定义资产 $i$ 的回报率为 ${\tilde{r}}_i$ ，市场组合 $M$ 的超额回报率为 ${\tilde{r}}_M$ ，那么有  $$\tilde{r}_i=\beta_i \tilde{r}_M $$

当我们使用真实世界中的数据拟合上述模型时，还需要考虑到其他因素的影响，即我们实际上拟合的模型为  $$\tilde{r}_i=\alpha_i+\beta_i \tilde{r}_M+\tilde{\varepsilon}_i $$

上式又被称为单一指数模型（single index model）。 ${\alpha }_i$ 和 ${\tilde{\epsilon }}_i$ 表征了资产回报率中不能为市场组合所解释的部分，因此 $cov({\beta }_i{\tilde{r}}_M,{\tilde{\epsilon }}_i)=0$ 。如果CAPM理论精确成立，市场只补偿资产所含有的系统风险，而不补偿资产中的个体风险，那么 ${\alpha }_i$ 和 ${\tilde{\epsilon }}_i$ 都应该为0，但现实中往往不是这样。

另外，我们可求得

$$\begin{array}{rl}var({\tilde{r}}_i)& =var({\alpha }_i+{\beta }_i{\tilde{r}}_M+{\tilde{\epsilon }}_i)\\ & =var({\beta }_i{\tilde{r}}_M)+var({\tilde{\epsilon }}_i)\\ & ={\beta }_i^{2}var({\tilde{r}}_M)+var({\tilde{\epsilon }}_i)\\ & ={\beta }_i^2{\sigma }_M^2+{\sigma }_{\epsilon }^2\end{array}$$

其中， ${\beta }_i^2{\sigma }_M^2$ 为系统风险， ${\sigma }_{\epsilon }^2$ 为个体风险。

此外， $\beta$ 的估计有助于我们简化投资组合优化问题。

运用均值-方差分析来做组合优化时，需要知道所有资产（假设共有 $n$ 种）回报率的均值，回报率方差，以及两两之间的回报率协方差。即，我们需要知道  $$\boldsymbol{\bar{r}}= \begin{bmatrix} \bar{r}1\ \bar{r}2\ \vdots\ \bar{r}n \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{\Sigma}= \begin{bmatrix} \sigma_1^2&\sigma&\cdots&\sigma\ \sigma&\sigma_2^2&\cdots&\sigma_{2n}\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\ \sigma_{n1}&\sigma_{n2}&\cdots&\sigma_n^2 \end{bmatrix} $$

则，一共需要估计 $n+\frac{n(n+1)}{2}$ 个元素。

而根据CAPM模型，我们知道

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_{ij}& =cov({\tilde{r}}_i,{\tilde{r}}_j)\\ & =cov({\alpha }_i+{\beta }_i{\tilde{r}}_M+{\tilde{\epsilon }}_i,{\alpha }_j+{\beta }_j{\tilde{r}}_M+{\tilde{\epsilon }}_j)\\ & ={\beta }_i{\beta }_{j}cov({\tilde{r}}_M,{\tilde{r}}_M)\\ & ={\beta }_i{\beta }_j{\sigma }_M^2\end{array}$$

此时， $n$ 种资产的方差-协方差矩阵可以被写为  $$\boldsymbol{\Sigma}= \sigma_M^2 \begin{bmatrix} \beta_1^2&\beta_1\beta_2&\cdots&\beta_1\beta_n\ \beta_2\beta_1&\beta_2^2&\cdots&\beta_2\beta_n\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\ \beta_n\beta_1&\beta_n\beta_2&\cdots&\beta_n^2 \end{bmatrix} $$

则，一共需要估计 $n+n+1$ 个元素。但维度 $n$ 很大时，需要估计的参数个数大大减少。

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3. 詹森阿尔法

衡量一只投资基金的业绩有两个主要的指标：夏普比和詹森阿尔法。

夏普比  $$Sharpe, Ratio=\frac{\bar{r}_i-r_f}{\sigma_i} $$ 衡量了承担单位风险所获得的回报率提升的幅度。

但是，夏普比只能用来衡量那些最终投资组合的表现（通过分散化投资将所有个体风险都在组合中消除掉）。

但在现实世界中，还有些基金只专注于投资某一个领域，如，专门投资黄金的基金。那么，这些基金显然不会去分散投资，夏普比不适合用于考核此类基金。对这些基金来说， $\beta$ 而非波动率是更合适的风险刻画指标。1968年，Jensen利用CAPM的思想构造了一个衡量基金表现的指标：詹森阿尔法（Jensen's Alpha），这个指标又被称为詹森指数（Jensen's Index）。

$$Jense{n}^{\prime }sAlpha={\alpha }_i=({\overline{r}}_i-r_f)-{\beta }_i({\overline{r}}_M-r_f)$$

如果某只基金的阿尔法为正，那么这只基金的表现优异。

事实上，在均衡时应该所有资产（包括所有的基金）的 $\alpha$ 都为0。但市场总是在不断发展变化的。有可能有些基金经理会因为自己能力出众，做出了正的 $\alpha$ 。如果有基金出现了正 $\alpha$ ，就表明市场没有处在均衡。这时，市场就会调整，把这个正 $\alpha$ 基金吸收到新的市场组合中。

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参考文献： 《金融经济学二十五讲》. 徐高. 中国人民大学出版社. 2018-7

贡献者

阿啸

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