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赛尔号！

和阿璇激情讨论赛尔号 有一说一她的背包里面，精灵都好厉害。我半夜还爬起来打开我的背包看了看，真是一坨 她买了一包糖，但是这个糖的目的是用来治疗过敏，说实话闻所未闻，简直是天才，感觉包装纸上的笑脸是在笑她天真。

ARAP数学推导

为了搞定正定性的问题，首先我要复习一下ARAP这个模型的数学推导过程

对形变梯度矩阵进行极分解

$$F=RS$$

ARAP的定义如下

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Psi }}_{\text{ARAP}}& =\parallel \mathbf{F}-\mathbf{R}{\parallel }_F^2\\ & =\parallel \mathbf{F}{\parallel }_F^2+\parallel \mathbf{R}{\parallel }_F^2-2\text{tr}({\mathbf{F}}^T\mathbf{R})\\ & =\parallel \mathbf{F}{\parallel }_F^2+9-2\text{tr}(\mathbf{S}).\end{array}$$

它是形变梯度的二阶项，而stvk是四阶项，所以它的非线性弱于stvk。这个公式里的9哪里来的？

求力，也就是能量一阶导

$$\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}=\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial F}\frac{\partial F}{\partial x}$$

其中，形变梯度对位置的导数可以表达为12个矩阵组成的向量，12x3x3，然后能量对形变梯度的导数是3x3。 The matrix $\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial F}$ is also known as the first Piola-Kirchhoff stress tensor

PK1公式如下

$$P_{\text{ARAP}}(\mathbf{F})=\mu (\mathbf{F}-\mathbf{R})$$

下面几个公式抄下来方便复习，推导中用到

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial I_1}{\partial \mathbf{F}}& =\frac{\partial \mathrm{tr}(\mathbf{S})}{\partial \mathbf{F}}=\mathbf{R},\\ \frac{\partial I_2}{\partial \mathbf{F}}& =\frac{\partial I_{\mathbf{C}}}{\partial \mathbf{F}}=\frac{\partial \parallel \mathbf{F}{\parallel }_F^2}{\partial \mathbf{F}}=2\mathbf{F},\\ \frac{\partial I{I}_{\mathbf{C}}}{\partial \mathbf{F}}& =\frac{\partial \parallel {\mathbf{F}}^T\mathbf{F}{\parallel }_F^2}{\partial \mathbf{F}}=4\mathbf{F}{\mathbf{F}}^T\mathbf{F},\\ \frac{\partial \parallel \mathbf{R}{\parallel }_F^2}{\partial \mathbf{F}}& =\frac{\partial \mathrm{tr}\left({\mathbf{R}}^T\mathbf{R}\right)}{\partial \mathbf{F}}=\frac{\partial \mathrm{tr}(\mathbf{I})}{\partial \mathbf{F}}=\mathbf{0}.\end{array}$$

hessian矩阵计算公式：

$$\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial {\mathbf{x}}^2}=\frac{\partial {\mathbf{F}}^T}{\partial \mathbf{x}}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial {\mathbf{F}}^2}\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \mathbf{x}}$$

看完推导感觉我的ARAP的一阶导数和二阶导数算的没问题呀

实验验证

找了个简单的case，单个四面体，仍然会出现pcg无法收敛的情况，来一探究竟。 我将12x12的矩阵导出到python中用numpy求解了一下，发现有解，但是用我的pcg却无法收敛，也就是说我的pcg出现了问题！ 详细处理pcg的bug。

贡献者

阿啸

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